дано:
Первый член арифметической прогрессии a1 = a (натуральное число).
Разность прогрессии d (натуральное число).
найти:
Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.
решение:
1. Общая формула n-го члена арифметической прогрессии задается следующим образом:
an = a + (n - 1)d, где n - номер члена прогрессии.
2. Рассмотрим запись членов прогрессии. Для различных значений n мы получим:
a1 = a
a2 = a + d
a3 = a + 2d
...
an = a + (n - 1)d.
3. Поскольку a и d — натуральные числа, все члены прогрессии будут также натуральными числами.
4. Теперь рассмотрим количество возможных значений для an. На каждую итерацию n мы можем добавлять d к первому члену a. Это будет последовательное прибавление натурального числа d.
5. Числа, содержащие цифру 9, встречаются среди натуральных чисел достаточно часто. Для примера, такие числа как 9, 19, 29, ..., 90, 91, 92, ..., 99.
6. Заметим, что каждая последовательность из 10 чисел содержит хотя бы одно число с цифрой 9 (например, 0-9, 10-19, 20-29 и так далее). Таким образом, если n будет увеличиваться, постепенно мы начнём проходить через такие группы чисел.
7. Подсчитаем, сколько чисел может быть до достижения цифры 9. Если a меньше 9, то мы будем получать числа от a до a + (m-1)d, где m - максимальное значение, при котором мы еще не достигли числа, содержащего 9.
8. Важно отметить, что d также увеличивает общее значение, и будет вероятность, что при разных n мы будем попадать на числа, содержащие цифру 9, начиная с некоторого момента.
9. Следовательно, по мере увеличения n и при многократном добавлении d к a, мы обязательно дойдём до числа, которое будет содержать цифру 9, так как существует бесконечное количество членов прогрессии.
ответ:
Таким образом, найдётся такой член арифметической прогрессии, в записи которого участвует цифра 9, так как натуральные числа проходят через все диапазоны, включая числа с цифрой 9.