дано:
a1 = 28 (первый член арифметической прогрессии)
n2 = a1 + d (второй член)
n8 = a1 + 7d (восьмой член)
найти: d (разность арифметической прогрессии), при котором произведение второго и восьмого членов минимально.
решение:
Произведение второго и восьмого членов можно записать как:
P = n2 * n8 = (a1 + d)(a1 + 7d).
Подставим значение первого члена:
P = (28 + d)(28 + 7d).
Раскроем скобки:
P = 28*28 + 28*7d + 28*d + d*7d
P = 784 + 196d + 28d + 7d^2
P = 784 + 224d + 7d^2.
Для нахождения минимума этого выражения найдем производную P по d и приравняем её к нулю:
dP/dd = 224 + 14d = 0.
Решаем уравнение:
14d = -224
d = -224 / 14
d = -16.
Проверим, что это значение действительно минимизирует произведение. Для этого рассмотрим вторую производную:
d^2P/dd^2 = 14, которая положительна.
Таким образом, d = -16 дает минимум.
ответ: d = -16.