дано:
a1 = 66 (первый член арифметической прогрессии)
n2 = a1 + d (второй член)
n12 = a1 + 11d (двенадцатый член)
найти: d (разность арифметической прогрессии), при котором произведение второго и двенадцатого членов минимально.
решение:
Произведение второго и двенадцатого членов можно записать как:
P = n2 * n12 = (a1 + d)(a1 + 11d).
Подставляем значение первого члена:
P = (66 + d)(66 + 11d).
Раскроем скобки:
P = 66*66 + 66*11d + 66*d + d*11d
P = 4356 + 726d + 66d + 11d^2
P = 4356 + 792d + 11d^2.
Для нахождения минимума этого выражения найдем производную P по d и приравняем её к нулю:
dP/dt = 792 + 22d = 0.
Решаем уравнение:
22d = -792
d = -792 / 22
d = -36.
Проверим, что это значение действительно минимизирует произведение. Для этого рассмотрим вторую производную:
d^2P/dd^2 = 22, которая положительна.
Таким образом, d = -36 дает минимум.
ответ: d = -36.