Дано:
- Разность пятого и третьего членов геометрической прогрессии равна 4.
- Разность седьмого и пятого членов геометрической прогрессии равна 12.
Обозначим первый член прогрессии через a, а знаменатель через q. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:
a3 = a * q^2,
a5 = a * q^4,
a7 = a * q^6.
Согласно первому условию:
a5 - a3 = 4
=> a * q^4 - a * q^2 = 4
=> a(q^4 - q^2) = 4
=> a * q^2 (q^2 - 1) = 4. (1)
Согласно второму условию:
a7 - a5 = 12
=> a * q^6 - a * q^4 = 12
=> a(q^6 - q^4) = 12
=> a * q^4 (q^2 - 1) = 12. (2)
Теперь мы имеем две системы уравнений (1) и (2).
Из уравнения (1) выразим a:
a = 4 / (q^2(q^2 - 1)).
Подставим это значение a во второе уравнение (2):
(4 / (q^2(q^2 - 1))) * q^4 (q^2 - 1) = 12.
Упростим:
4q^4 / (q^2(q^2 - 1)) (q^2 - 1) = 12
=> 4q^4 / q^2 = 12
=> 4q^2 = 12
=> q^2 = 3
=> q = sqrt(3).
Теперь подставим значение q обратно в выражение для a:
a = 4 / (3(sqrt(3) - 1)).
Теперь найдем разность девятого и седьмого членов:
a9 = a * q^8,
a7 = a * q^6.
Разность:
a9 - a7 = a * q^8 - a * q^6
= a(q^8 - q^6)
= a*q^6(q^2 - 1).
Теперь подставим найденные значения:
a = 4 / (3(sqrt(3) - 1)),
q^6 = (sqrt(3))^6 = 27.
Таким образом, разность будет:
a * 27(q^2 - 1) = a * 27(3 - 1) = a * 27 * 2 = 54a.
Подставляем значение a:
54 * (4 / (3(sqrt(3) - 1))) = 216 / (3(sqrt(3) - 1)).
Упрощаем это значение:
216 / (3(sqrt(3) - 1)) = 72 / (sqrt(3) - 1).
Теперь умножаем на сопряженное:
72(sqrt(3) + 1) / (3 - 1) = 36(sqrt(3) + 1).
Ответ:
Разность девятого и седьмого членов этой прогрессии равна 36(sqrt(3) + 1).