Дано:
- Разность седьмого и четвёртого членов геометрической прогрессии равна 3.
- Разность десятого и седьмого членов равна 6.
Обозначим первый член прогрессии через a, а знаменатель через q. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:
a4 = a * q^3,
a7 = a * q^6,
a10 = a * q^9.
Согласно первому условию:
a7 - a4 = 3
=> a * q^6 - a * q^3 = 3
=> a(q^6 - q^3) = 3
=> a * q^3 (q^3 - 1) = 3. (1)
Согласно второму условию:
a10 - a7 = 6
=> a * q^9 - a * q^6 = 6
=> a(q^9 - q^6) = 6
=> a * q^6 (q^3 - 1) = 6. (2)
Теперь мы имеем две системы уравнений (1) и (2).
Из уравнения (1) выразим a:
a = 3 / (q^3(q^3 - 1)).
Подставим это значение a во второе уравнение (2):
(3 / (q^3(q^3 - 1))) * q^6 (q^3 - 1) = 6.
Упростим:
3q^6 / (q^3(q^3 - 1))(q^3 - 1) = 6
=> 3q^6 / q^3 = 6
=> 3q^3 = 6
=> q^3 = 2
=> q = 2^(1/3).
Теперь подставим значение q обратно в выражение для a:
a = 3 / ((2^(1/3))^3(2^(1/3) - 1))
= 3 / (2(2^(1/3) - 1)).
Теперь найдем разность тринадцатого и десятого членов:
a13 = a * q^12,
a10 = a * q^9.
Разность:
a13 - a10 = a * q^12 - a * q^9
= a(q^12 - q^9)
= a*q^9(q^3 - 1).
Теперь подставим найденные значения:
a = 3 / (2(2^(1/3) - 1)),
q^9 = (2^(1/3))^9 = 2^(3) = 8.
Таким образом, разность будет:
a * 8(q^3 - 1) = a * 8(2 - 1) = a * 8 * 1 = 8a.
Подставляем значение a:
8 * (3 / (2(2^(1/3) - 1))) = 24 / (2(2^(1/3) - 1)) = 12 / (2^(1/3) - 1).
Для завершения расчетов оставим это в таком виде.
Ответ:
Разность тринадцатого и десятого членов этой прогрессии равна 12 / (2^(1/3) - 1).