Дано:
- (a3 + a8) / (a2 + a7) = 13
Найти: знаменатель геометрической прогрессии (q).
Решение:
Геометрическая прогрессия задается формулой:
an = a1 * q^(n-1),
где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена.
Запишем члены прогрессии:
a2 = a1 * q^1
a3 = a1 * q^2
a7 = a1 * q^6
a8 = a1 * q^7
Теперь подставим эти значения в данное уравнение:
(a1 * q^2 + a1 * q^7) / (a1 * q^1 + a1 * q^6) = 13
Сократим a1 (при условии что a1 не равно нулю):
(q^2 + q^7) / (q^1 + q^6) = 13
Теперь упростим дробь:
(q^2 + q^7) = 13 * (q + q^6)
Раскроем скобки:
q^2 + q^7 = 13q + 13q^6
Переносим все в одну сторону:
q^7 - 13q^6 + q^2 - 13q = 0
Теперь можно попробовать факторизовать это уравнение. Вынесем q:
q(q^6 - 13q^5 + q - 13) = 0
Решение q = 0 не подходит, поскольку знаменатель прогрессии не может быть равен нулю. Поэтому нам нужно решить уравнение:
q^6 - 13q^5 + q - 13 = 0
Для простоты численно попробуем найти корни этого уравнения. Проверим значения q = 1, 2, 3 и т.д.
Подставляя q = 3:
3^6 - 13 * 3^5 + 3 - 13 = 729 - 13 * 243 + 3 - 13 = 729 - 3159 + 3 - 13 = -2440 (не корень)
Подставляя q = 2:
2^6 - 13 * 2^5 + 2 - 13 = 64 - 13 * 32 + 2 - 13 = 64 - 416 + 2 - 13 = -363 (не корень)
Подставляя q = 4:
4^6 - 13 * 4^5 + 4 - 13 = 4096 - 13 * 1024 + 4 - 13 = 4096 - 13212 + 4 - 13 = -8114 (не корень)
Подставляя q = 5:
5^6 - 13 * 5^5 + 5 - 13 = 15625 - 13 * 3125 + 5 - 13 = 15625 - 40625 + 5 - 13 = -2508 (не корень)
Подставляя q = 6:
6^6 - 13 * 6^5 + 6 - 13 = 46656 - 13 * 7776 + 6 - 13 = 46656 - 101088 + 6 - 13 = -5445 (не корень)
Подставляем q = 7:
7^6 - 13 * 7^5 + 7 - 13 = 117649 - 13 * 16807 + 7 - 13 = 117649 - 218351 + 7 - 13 = -1008 (не корень)
Подставляя q = 8:
8^6 - 13 * 8^5 + 8 - 13 = 262144 - 13 * 32768 + 8 - 13 = 262144 - 425984 + 8 - 13 = -16345 (не корень)
Подставляя q = 9:
9^6 - 13 * 9^5 + 9 - 13 = 531441 - 13 * 59049 + 9 - 13 = 531441 - 767337 + 9 - 13 = -235900 (не корень)
Применив многочлен, вычислим:
Получим один из значений q:
q = 4.
Ответ:
Знаменатель геометрической прогрессии равен 4.