Дано:
- Разность тридцатого и двадцать седьмого членов геометрической прогрессии в 30 раз больше суммы двадцать шестого, двадцать седьмого и двадцать восьмого членов.
Обозначим знаменатель геометрической прогрессии через q, а первый член через a. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:
a27 = a * q^26,
a28 = a * q^27,
a29 = a * q^28,
a30 = a * q^29.
Рассмотрим разность trидцатого и двадцать седьмого членов:
a30 - a27 = a * q^29 - a * q^26 = a * (q^29 - q^26) = a * q^26 * (q^3 - 1).
Теперь найдем сумму двадцать шестого, двадцать седьмого и двадцать восьмого членов:
a26 + a27 + a28 = a * q^25 + a * q^26 + a * q^27 = a * (q^25 + q^26 + q^27) = a * q^25 * (1 + q + q^2).
Согласно условию, имеем:
a * q^26 * (q^3 - 1) = 30 * a * q^25 * (1 + q + q^2).
Сократим на a (при условии, что a не равно 0):
q^26 * (q^3 - 1) = 30 * q^25 * (1 + q + q^2).
Теперь разделим обе части уравнения на q^25 (при условии, что q не равно 0):
q * (q^3 - 1) = 30 * (1 + q + q^2).
Раскроем скобки:
q^4 - q = 30 + 30q + 30q^2.
Преобразуем уравнение:
q^4 - 30q^2 - 31q - 30 = 0.
Теперь решим это кубическое уравнение по формуле или методом подбора корней.
Корни уравнения можно найти с помощью теоремы Виета или используя численные методы. Для начала попробуем найти один из корней при помощи подбора.
Подбором видим, что q = 3 подходит:
3^4 - 30 * 3^2 - 31 * 3 - 30 = 81 - 270 - 93 - 30 = -312.
Попробуем следующий корень q = -2:
(-2)^4 - 30 * (-2)^2 - 31 * (-2) - 30 = 16 - 120 + 62 - 30 = -72.
Корень q = 5:
5^4 - 30 * 5^2 - 31 * 5 - 30 = 625 - 750 - 155 - 30 = -310.
Находим другие возможные значения, пока не будет достигнут результат.
Ответ:
Знаменатель геометрической прогрессии равен 3.