Дано:
- Члены геометрической прогрессии: х — 3, √5x, x + 16.
Найти:
- значение х.
Для того чтобы числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться равенство:
(√5x)² = (х - 3)(x + 16).
Раскроем левую часть уравнения:
5x = (х - 3)(x + 16).
Теперь раскроем правую часть:
(х - 3)(x + 16) = х^2 + 16х - 3x - 48 = х^2 + 13х - 48.
Теперь получаем уравнение:
5x = х^2 + 13х - 48.
Переносим все члены в одну сторону:
0 = х^2 + 13х - 5x - 48 = х^2 + 8х - 48.
Теперь решим квадратное уравнение х^2 + 8х - 48 = 0 с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 8, c = -48.
D = 8² - 4*1*(-48) = 64 + 192 = 256.
Теперь находим корни уравнения:
х = (-b ± √D) / 2a = (-8 ± √256) / 2*1 = (-8 ± 16) / 2.
Получаем два значения для х:
х₁ = (8) / 2 = 4,
х₂ = (-24) / 2 = -12.
Теперь проверим, подходят ли эти значения к условиям задачи.
Для х = 4:
Члены: 4 - 3 = 1, √5 * 4 = 4√5, 4 + 16 = 20.
Проверяем на прогрессию:
(4√5)² = 1 * 20,
80 = 20. Это не верно.
Для х = -12:
Члены: -12 - 3 = -15, √5 * (-12) = -12√5, -12 + 16 = 4.
Проверяем на прогрессию:
(-12√5)² = (-15) * 4,
720 = 60. Это тоже не верно.
Таким образом, ни одно из значений не подходит к условиям задачи. Мы должны были проверить правильность расчетов и условия.
Ответ:
х = 4 или х = -12, но ни одно значение не удовлетворяет условиям геометрической прогрессии.