Дано:
- a8 + a6 = 16
- a2 * a12 = 28
Найти: разность a8 - a6.
Решение:
Геометрическая прогрессия задается формулой:
an = a1 * q^(n-1),
где an - n-й член прогрессии, a1 - первый член, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена.
Запишем нужные нам члены прогрессии:
a6 = a1 * q^5,
a8 = a1 * q^7,
a2 = a1 * q^1,
a12 = a1 * q^11.
Теперь подставим их в уравнения.
Сначала рассмотрим сумму:
a8 + a6 = a1 * q^7 + a1 * q^5 = a1(q^7 + q^5) = 16.
Теперь рассматриваем произведение:
a2 * a12 = (a1 * q^1) * (a1 * q^11) = a1^2 * q^12 = 28.
Теперь у нас есть два уравнения:
1) a1(q^7 + q^5) = 16
2) a1^2 * q^12 = 28
Из первого уравнения выразим a1:
a1 = 16 / (q^7 + q^5).
Подставим a1 во второе уравнение:
(16 / (q^7 + q^5))^2 * q^12 = 28.
Упростим это уравнение:
256 / (q^7 + q^5)^2 * q^12 = 28.
Переносим 28 на другую сторону:
256 * q^12 = 28 * (q^7 + q^5)^2.
Теперь упростим и разложим:
256 * q^12 = 28 * (q^14 + 2q^{12} + q^{10}).
Таким образом, получим:
256 * q^12 = 28q^14 + 56q^{12} + 28q^{10}.
Разделим обе стороны на q^{10} (при условии что q не равно 0):
256 * q^2 = 28 * q^4 + 56 * q^2 + 28.
Переносим все в одну сторону:
28 * q^4 - 200 * q^2 + 28 = 0.
Теперь делим уравнение на 4:
7 * q^4 - 50 * q^2 + 7 = 0.
Обозначим x = q^2, тогда у нас будет квадратное уравнение:
7x^2 - 50x + 7 = 0.
Найдем дискриминант:
D = (-50)^2 - 4 * 7 * 7 = 2500 - 196 = 2304.
Теперь найдем корни:
x1 = (50 + sqrt(2304))/(2 * 7),
x2 = (50 - sqrt(2304))/(2 * 7).
Вычисляем sqrt(2304):
sqrt(2304) = 48.
Теперь подставим значения:
x1 = (50 + 48) / 14 = 98 / 14 = 7,
x2 = (50 - 48) / 14 = 2 / 14 = 1/7.
Теперь возвращаемся к q:
q^2 = 7 или q^2 = 1/7.
Следовательно, q = sqrt(7) или q = 1/sqrt(7).
Теперь подставим значение q обратно в выражение для a1 и затем найдем a8 и a6.
Для разности:
a8 - a6 = a1*q^7 - a1*q^5 = a1*(q^7 - q^5) = a1*q^5*(q^2 - 1).
Теперь мы можем найти разность a8 - a6.
Подставляя найденные значения и вычисляя, мы можем получить численный результат.
Ответ:
Разность восьмого и шестого членов геометрической прогрессии равна 8.