Question

В торговом центре установлены 2 автоматических кассовых аппарата. Первый аппарат может отказать в течение дня с вероятностью р1 — 0,05. Второй аппарат отказывает в течение дня с вероятностью р2 = 0,04. Если какой-то из аппаратов отказал, то после окончания рабочего дня инженер перезагружает и обслуживает отказавший аппарат. Найдите математическое ожидание случайной величины «общее число обслуживании в течение недели» (в неделе семь дней).

Answer 1

Дано:

Вероятность отказа первого аппарата: p1 = 0,05.  
Вероятность отказа второго аппарата: p2 = 0,04.  
Количество дней в неделе: n = 7.

Найти: математическое ожидание общего числа обслуживаний в течение недели.

Решение:

Общее количество обслуживаний за день будет зависеть от того, сколько аппаратов отказало. Возможные варианты:

1. Ни один аппарат не отказал.
2. Отказал первый аппарат.
3. Отказал второй аппарат.
4. Отказали оба аппарата.

Сначала найдем вероятность каждого из этих событий.

1. Вероятность того, что ни один аппарат не отказал:
P(0) = (1 - p1) * (1 - p2) = (1 - 0,05) * (1 - 0,04) = 0,95 * 0,96 = 0,912.

2. Вероятность того, что отказал только первый аппарат:
P(1) = p1 * (1 - p2) = 0,05 * 0,96 = 0,048.

3. Вероятность того, что отказал только второй аппарат:
P(2) = (1 - p1) * p2 = 0,95 * 0,04 = 0,038.

4. Вероятность того, что отказали оба аппарата:
P(3) = p1 * p2 = 0,05 * 0,04 = 0,002.

Теперь определим ожидаемое число обслуживаний в течение одного дня:

E(Day) = 0 * P(0) + 1 * P(1) + 1 * P(2) + 2 * P(3).

Подставим значения вероятностей:

E(Day) = 0 * 0,912 + 1 * 0,048 + 1 * 0,038 + 2 * 0,002  
= 0 + 0,048 + 0,038 + 0,004  
= 0,09.

Теперь найдем общее математическое ожидание обслуживаний в течение недели:

E(Week) = E(Day) * n = 0,09 * 7 = 0,63.

Ответ:
Математическое ожидание общего числа обслуживаний в течение недели составляет 0,63.