Дано: Квадратный ковер со стороной 1 м. На ковре 51 дырка. Размер заплатки — квадрат со стороной 20 см.
Найти: Доказать, что некоторой квадратной заплаткой можно закрыть не менее трёх дырок.
Решение:
1. Переведем размеры в сантиметры: сторона ковра равна 100 см, сторона заплатки равна 20 см.
2. Разделим ковер на 5x5 квадратов размером 20 см × 20 см. Это дает 25 таких квадратов.
3. Рассчитаем среднюю плотность дырок в ковре: 51 дырка на площади 1 м^2 (100 см × 100 см) дает плотность 51 дырка / 10 000 см^2.
4. Площадь одного квадрата заплатки составляет 20 см × 20 см = 400 см^2. Средняя плотность дырок в этом квадрате составит 51 дырка / 10 000 см^2 × 400 см^2 = 2,04 дырки.
5. Таким образом, даже если дырки распределены равномерно, площадь заплатки должна закрыть в среднем более 2 дырок. При этом в некоторых квадратах заплатка может закрывать 3 или более дырок.
Ответ: Да, некоторой квадратной заплаткой со стороной 20 см можно закрыть не менее трёх дырок.