Дано:
Треугольник ABC, где высота h, опущенная на основание BC, равна радиусу вневписанной окружности Ra, касающейся стороны BC. Обозначим стороны треугольника как a = BC, b = CA, c = AB.
Найти:
Докажите, что основание a равно среднему арифметическому двух других сторон b и c.
Решение:
1. Площадь S треугольника можно выразить через высоту и основание:
S = (1/2) * a * h.
2. Площадь S также можно выразить через радиус вневписанной окружности и полупериметр p:
S = Ra * p, где p = (a + b + c) / 2.
3. Подставим значение полупериметра:
S = Ra * ((a + b + c) / 2).
4. Уравняем два выражения для площади:
(1/2) * a * h = Ra * ((a + b + c) / 2).
5. Подставим h = Ra:
(1/2) * a * Ra = Ra * ((a + b + c) / 2).
6. Упростим уравнение, сократив Ra (при Ra ≠ 0):
(1/2) * a = (a + b + c) / 2.
7. Умножим обе стороны на 2:
a = a + b + c.
8. Перепишем уравнение:
0 = b + c - a.
9. Таким образом, получаем:
a = (b + c) / 2, что означает, что основание a равно среднему арифметическому двух других сторон b и c.
Ответ:
Основание a равно среднему арифметическому сторон b и c.