Дано:
Радиус вписанной окружности r = 1, высота h = 3, опущенная на основание треугольника.
Найти:
Радиус окружности R, касающейся боковых сторон треугольника, центр которой находится на основании треугольника.
Решение:
1. Площадь треугольника S можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр p:
S = r * p.
2. Площадь также можно выразить через высоту и основание:
S = (1/2) * a * h,
где a — основание треугольника.
3. Приравняем две формулы для площади:
r * p = (1/2) * a * h.
4. Подставим известные значения:
1 * p = (1/2) * a * 3,
p = (3/2) * a.
5. Полупериметр p также равен:
p = (a + b + c) / 2,
где b и c — боковые стороны треугольника.
6. Обозначим R как радиус окружности, касающейся боковых сторон. Используем формулу для радиуса окружности, касающейся боковых сторон:
R = (S / p) - r.
7. Подставим выражение для S и p:
R = [(r * p) / p] - r = r - r = 0.
8. Однако, учитывая, что окружность касается боковых сторон, можно выразить R через высоту и радиус вписанной окружности:
R = (h - r).
9. Подставим значения:
R = 3 - 1 = 2.
Ответ:
Радиус окружности R = 2.