Дано: Точка A и точка B. Пусть точка O является центром симметрии.
Найти: Показать, что при центральной симметрии отрезок AB переходит в отрезок A1B1, где A1 и B1 - образы точек A и B относительно точки O.
Решение:
1. Определение центральной симметрии: При центральной симметрии относительно точки O, для каждой точки P, ее образ P1 определяется следующим образом: P1 = 2O - P.
2. Образы точек A и B:
- Образ точки A относительно точки O равен A1 = 2O - A.
- Образ точки B относительно точки O равен B1 = 2O - B.
3. Рассмотрим отрезок AB и его образы A1B1:
- Чтобы показать, что отрезок AB переходит в отрезок A1B1, нужно проверить, что A1 и B1 образуют отрезок и лежат на одной прямой, а также что длина отрезка A1B1 равна длине отрезка AB.
4. Проверка, что A1 и B1 лежат на одной прямой:
- Поскольку A1 = 2O - A и B1 = 2O - B, векторы A1 - O и B1 - O являются отрицательными векторами векторов A - O и B - O соответственно.
- Векторы A1 - B1 и A - B должны быть параллельны. Рассчитаем их:
A1 - B1 = (2O - A) - (2O - B) = B - A.
- Это показывает, что вектор A1 - B1 параллелен вектору A - B, следовательно, точки A1 и B1 лежат на одной прямой.
5. Проверка длины отрезка:
- Длина отрезка A1B1 равна:
A1B1 = sqrt( (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 ), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A1 и B1.
- Подставим координаты:
A1 = (2xO - xA, 2yO - yA)
B1 = (2xO - xB, 2yO - yB)
- Длина отрезка A1B1:
A1B1 = sqrt( ((2xO - xA) - (2xO - xB))^2 + ((2yO - yA) - (2yO - yB))^2 )
= sqrt( (-xA + xB)^2 + (-yA + yB)^2 )
= sqrt( (xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 )
= AB.
- Таким образом, длина отрезка A1B1 равна длине отрезка AB.
Ответ: При центральной симметрии отрезок AB переходит в отрезок A1B1, и этот отрезок имеет ту же длину, что и исходный отрезок AB.