дано:
1. Центральная симметрия относительно точки O.
2. Прямая l, заданная уравнением Ax + By + C = 0.
найти:
Докажите, что при центральной симметрии прямая l переходит в параллельную прямую либо в саму себя.
решение:
1. Пусть точка P(x_P, y_P) — произвольная точка на прямой l. Тогда выполняется равенство:
Ax_P + By_P + C = 0.
2. При применении центральной симметрии относительно точки O, координаты точки P переходят в точку P' с координатами:
P'(x', y') = (2x_O - x_P, 2y_O - y_P).
3. Подставим координаты P' в уравнение прямой l, чтобы проверить, принадлежит ли P' этой прямой:
A(2x_O - x_P) + B(2y_O - y_P) + C = 0.
4. Раскроем скобки:
2Ax_O + 2By_O - Ax_P - By_P + C = 0.
5. Поскольку Ax_P + By_P + C = 0, то:
2Ax_O + 2By_O = 0.
6. Это уравнение можно представить в виде:
A(x_O) + B(y_O) = 0, что указывает на то, что точка O лежит на прямой, или что прямая l проходит через точку O.
7. Если точка O лежит на прямой l, то прямая l при симметрии переходит в саму себя.
8. Если точка O не лежит на прямой l, то прямая l будет переходить в параллельную прямую, так как уравнение для новой прямой будет иметь ту же угловую величину, но изменённое значение свободного члена.
ответ:
При центральной симметрии прямая переходит в параллельную прямую либо в саму себя.