Дано: Окружность с центром C и радиусом R и точка O, являющаяся центром симметрии.
Найти: Показать, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.
Решение:
1. Определение центральной симметрии: При центральной симметрии относительно точки O, для любой точки P окружности ее образ P1 определяется как P1 = 2O - P.
2. Пусть окружность имеет уравнение (x - Cx)^2 + (y - Cy)^2 = R^2, где C = (Cx, Cy) — центр окружности, а R — радиус.
3. Рассмотрим точку P = (x, y) на этой окружности. Образ этой точки при центральной симметрии относительно O будет точка P1, координаты которой:
x1 = 2x0 - x
y1 = 2y0 - y
где (x0, y0) — координаты точки O.
4. Подставим координаты P1 в уравнение окружности:
(x1 - Cx)^2 + (y1 - Cy)^2 = R^2
Подставим x1 и y1:
((2x0 - x) - Cx)^2 + ((2y0 - y) - Cy)^2 = R^2
Упростим это выражение:
(2x0 - x - Cx)^2 + (2y0 - y - Cy)^2 = R^2
= (2x0 - Cx - x)^2 + (2y0 - Cy - y)^2
Раскроем скобки и упростим:
((2x0 - Cx) - x)^2 + ((2y0 - Cy) - y)^2 = R^2
= (2x0 - Cx - x)^2 + (2y0 - Cy - y)^2
5. Распишем это выражение подробнее:
(2x0 - Cx - x)^2 = (2x0 - (Cx + x))^2
= (2x0 - Cx - x)^2
= (x0 - Cx/2 - x/2)^2
Аналогично для второй компоненты:
(2y0 - Cy - y)^2 = (y0 - Cy/2 - y/2)^2
6. Из выражения видно, что уравнение окружности после центральной симметрии будет иметь вид:
((2x0 - x) - Cx)^2 + ((2y0 - y) - Cy)^2 = R^2
Это уравнение представляет собой окружность с центром в (2x0 - Cx, 2y0 - Cy) и радиусом R.
7. Следовательно, окружность переходит в окружность с тем же радиусом R, но с новым центром (2x0 - Cx, 2y0 - Cy).
Ответ: При центральной симметрии окружность переходит в окружность, сохраняя радиус и меняя центр.