Дано:
Пусть задана окружность с центром O и радиусом R. Уравнение окружности в декартовой системе координат имеет вид:
(x - O_x)² + (y - O_y)² = R².
Найти:
Показать, что при осевой симметрии относительно прямой, проходящей через центр окружности, окружность переходит в окружность.
Решение:
1. Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой, проходящей через центр O окружности, например, через ось x.
2. Если точка A(x, y) лежит на окружности, то она удовлетворяет уравнению окружности:
(x - O_x)² + (y - O_y)² = R².
3. При осевой симметрии относительно оси x координаты точки A преобразуются в A'(x, -y).
4. Подставим A' в уравнение окружности:
(x - O_x)² + (-y - O_y)² = (x - O_x)² + (-1(y - O_y))².
5. Упрощаем:
(x - O_x)² + (y - O_y)² = R².
6. Таким образом, точка A' также удовлетворяет уравнению окружности.
7. Поскольку всякая точка A на окружности переходит в точку A' при симметрии, вся окружность переходит в окружность.
Ответ:
При осевой симметрии окружность переходит в окружность, так как все точки окружности сохраняют свои расстояния от центра и продолжают удовлетворять уравнению окружности.