дано:
треугольник ABC, где D – середина стороны BC, и известно, что отрезок AD равен расстояниям от точки D до вершин A, B и C (то есть DB = DC = DA).
найти:
доказать, что треугольник ABC является прямоугольным.
решение:
1. Поскольку D – середина стороны BC, то отрезки BD и DC равны:
BD = DC.
2. Из условия задачи известно, что:
DA = DB = DC = r (где r – расстояние от D до вершин A, B и C).
3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. В этих треугольниках:
- BD = DC (по определению середины);
- DA = DA (равные стороны);
- AB = AC (так как обе стороны проходят через одну вершину D, удаленную на одно и то же расстояние от A).
4. Таким образом, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними:
треугольник ABD ≅ треугольнику ACD.
5. Это означает, что углы ABD и ACD равны:
угол ABD = угол ACD.
6. Теперь рассмотрим угол A:
угол A = угол ABD + угол ACD.
7. Поскольку угол ABD = угол ACD, угол A можно представить как:
угол A = 2 * угол ABD.
8. Если угол ABD не равен нулю, угол A будет меньше 180 градусов. Следовательно, угол A становится равным 90 градусам, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
9. Таким образом, мы приходим к выводу, что угол A равен 90 градусам, что доказывает, что треугольник ABC является прямоугольным.
ответ:
Треугольник ABC является прямоугольным.