Дано:
Выпуклый четырёхугольник ABCD, где
BC = 10,
угол B = 112°,
угол C = 113°,
середина M стороны AD равноудалена от всех вершин A, B, C, D.
Найти:
Длину стороны AD.
Решение:
1. Поскольку середина M стороны AD равноудалена от всех вершин, это означает, что отрезки MA, MB, MC и MD равны. Обозначим их длину как R (радиус окружности, в которой находятся точки A, B, C, D).
2. По свойству треугольников, образованных точками M, B и C, применим косинусное правило к треугольнику MBC:
MB^2 = MC^2 + BC^2 - 2 * MC * BC * cos(угол BMC).
Угол BMC можно найти следующим образом: угол BMC = 180° - угол B - угол C = 180° - 112° - 113° = -45° (это значит, что отрезок MC не может быть отрицательным, поэтому ошибка в расчетах).
3. Поскольку углы B и C являются внешними к треугольнику MBC, то угол BMC = угол A + угол D.
Также сумма углов четырехугольника ABCD равна 360°, следовательно, угол A + угол D = 360° - (угол B + угол C) = 360° - (112° + 113°) = 135°.
4. Теперь воспользуемся формулой для сторон AD и BC внутри тригонометрической системы:
Длина стороны AD будет равна:
AD = 2R * sin(угол A/2) = 2R * sin((135°)/2) = 2R * sin(67.5°).
5. Для нахождения R из треугольника ABC, можно использовать теорему синусов:
R = BC / (2 * sin(угол B / 2)).
Подставляем известные значения:
R = 10 / (2 * sin(56°)) = 10 / (2 * 0.829).
6. Вычислим значение R:
R ≈ 10 / 1.658 ≈ 6.03.
7. Теперь подставим значение R в формулу для AD:
AD = 2 * 6.03 * sin(67.5°) = 12.06 * 0.9239 ≈ 11.14.
Ответ:
Длина стороны AD примерно равна 11.14.