Дано:
- Трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где AB < CD.
- Пусть M — середина боковой стороны AD.
- M равноудалена от вершин B и C.
Найти:
- Доказать, что трапеция является прямоугольной.
Решение:
1. Пусть M — середина боковой стороны AD. Так как M равноудалена от вершин B и C, это означает, что BM = MC.
2. Рассмотрим треугольники BMC и ADM.
- Медиана треугольника BMC (то есть отрезок BM) равна половине стороны BC.
- Медиана треугольника ADM (то есть отрезок DM) равна половине стороны AD.
3. Треугольники BMC и ADM равны, так как BM = MC и DM = AM.
4. Поскольку M равноудалена от вершин B и C, треугольники BMC и ADM равны по двум сторонам и углу между ними.
5. В равнобокой трапеции с равными боковыми сторонами и равными диагоналями, как в нашем случае, угол между боковыми сторонами равен 90 градусов.
6. Таким образом, если M равноудалена от вершин B и C, то угол между основаниями AB и CD равен 90 градусов, что делает трапецию прямоугольной.
Ответ:
Трапеция является прямоугольной.