а) Правильный треугольник
Дано: правильный треугольник, в котором все углы равны 60°.
Найти: косинусы углов треугольника.
Решение:
Во всех углах правильного треугольника равны 60°. Косинус угла 60° можно найти с помощью формулы:
cos(60°) = 1/2.
Ответ:
Косинус углов правильного треугольника равен 1/2.
б) Прямоугольный равнобедренный треугольник
Дано: прямоугольный равнобедренный треугольник. В таком треугольнике два угла равны 45°, а третий угол 90°.
Найти: косинусы углов треугольника.
Решение:
Для угла 45°:
cos(45°) = 1/√2 = √2/2.
Для угла 90°:
cos(90°) = 0.
Ответ:
Косинус углов 45° равен √2/2; косинус угла 90° равен 0.
в) «Египетский» треугольник
Дано: египетский треугольник, то есть треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Этот треугольник является прямоугольным.
Найти: косинусы углов треугольника.
Решение:
Сначала найдём косинус углов:
Для угла между катетами 3 и 4:
cos(θ) = (катет1^2 + катет2^2 - гипотенуза^2) / (2 * катет1 * катет2)
cos(θ) = (3^2 + 4^2 - 5^2) / (2 * 3 * 4)
cos(θ) = (9 + 16 - 25) / 24
cos(θ) = 0 / 24
cos(θ) = 0
Это угол 90°.
Для угла между катетом 3 и гипотенузой 5:
cos(θ) = катет / гипотенуза
cos(θ) = 3 / 5 = 0.6
Для угла между катетом 4 и гипотенузой 5:
cos(θ) = катет / гипотенуза
cos(θ) = 4 / 5 = 0.8
Ответ:
Косинус угла 90° равен 0; косинус угла между катетами 3 и гипотенузой равен 0.6; косинус угла между катетом 4 и гипотенузой равен 0.8.
г) Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12
Дано: прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12.
Найти: косинусы углов треугольника.
Решение:
Найдём гипотенузу с помощью теоремы Пифагора:
гипотенуза^2 = 5^2 + 12^2
гипотенуза^2 = 25 + 144
гипотенуза = √169 = 13
Косинус угла между катетом 5 и гипотенузой:
cos(θ) = катет / гипотенуза
cos(θ) = 5 / 13 ≈ 0.3846
Косинус угла между катетом 12 и гипотенузой:
cos(θ) = катет / гипотенуза
cos(θ) = 12 / 13 ≈ 0.9231
Ответ:
Косинус угла между катетом 5 и гипотенузой равен 5/13 ≈ 0.3846; косинус угла между катетом 12 и гипотенузой равен 12/13 ≈ 0.9231.
д) Равнобедренный треугольник с основанием 6 и боковой стороной 7
Дано: равнобедренный треугольник с основанием 6 и боковой стороной 7.
Найти: косинусы углов треугольника.
Решение:
Проведём высоту, которая делит треугольник на два прямоугольных треугольника. В каждом из них один катет равен 3 (половина основания), гипотенуза равна 7. Найдём высоту и косинус угла между боковой стороной и высотой.
Высота:
h = √(7^2 - 3^2)
h = √(49 - 9)
h = √40 = 2√10
Косинус угла между боковой стороной 7 и основанием 6:
cos(θ) = (боковая сторона^2 + боковая сторона^2 - основание^2) / (2 * боковая сторона^2)
cos(θ) = (7^2 + 7^2 - 6^2) / (2 * 7^2)
cos(θ) = (49 + 49 - 36) / (2 * 49)
cos(θ) = 62 / 98
cos(θ) = 31 / 49 ≈ 0.6327
Ответ:
Косинус угла между боковой стороной и основанием равен 31/49 ≈ 0.6327.
е) Треугольник со сторонами 13, 14, 15
Дано: треугольник со сторонами 13, 14 и 15.
Найти: косинусы углов треугольника.
Решение:
Используем закон косинусов для нахождения косинусов углов:
cos(θ) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
Для угла между сторонами 13 и 14:
cos(θ) = (13^2 + 14^2 - 15^2) / (2 * 13 * 14)
cos(θ) = (169 + 196 - 225) / (2 * 13 * 14)
cos(θ) = 140 / 364
cos(θ) = 35 / 91 ≈ 0.3846
Для угла между сторонами 13 и 15:
cos(θ) = (13^2 + 15^2 - 14^2) / (2 * 13 * 15)
cos(θ) = (169 + 225 - 196) / (2 * 13 * 15)
cos(θ) = 198 / 390
cos(θ) = 99 / 195 ≈ 0.5077
Для угла между сторонами 14 и 15:
cos(θ) = (14^2 + 15^2 - 13^2) / (2 * 14 * 15)
cos(θ) = (196 + 225 - 169) / (2 * 14 * 15)
cos(θ) = 252 / 420
cos(θ) = 6 / 10 = 0.6
Ответ:
Косинус угла между сторонами 13 и 14 равен 35/91 ≈ 0.3846; косинус угла между сторонами 13 и 15 равен 99/195 ≈ 0.5077; косинус угла между сторонами 14 и 15 равен 0.6.
Для прямоугольных треугольников сравнение с синусами углов:
Косинус угла 90° всегда равен 0, а синус 90° равен 1.
В остальных случаях, косинус и синус связаны следующим образом: для прямоугольных треугольников, сумма квадратов косинуса и синуса угла равна 1 (cos²θ + sin²θ = 1).