Дано: углы треугольника
Найти: синусы углов для различных типов треугольников
Решение:
а) Равнобедренный прямоугольный треугольник:
В таком треугольнике один угол равен 90°, а два других угла равны по 45°.
sin(90°) = 1
sin(45°) = √2 / 2 ≈ 0.707
б) Равносторонний треугольник:
В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
sin(60°) = √3 / 2 ≈ 0.866
в) «Египетский» треугольник (с пропорциями сторон 3:4:5):
Это прямоугольный треугольник, где один угол равен 90°, а два других угла равны 36.87° и 53.13°.
sin(90°) = 1
sin(36.87°) ≈ 0.6
sin(53.13°) ≈ 0.8
г) Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см:
Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: c = √(5² + 12²) = √169 = 13 см.
Углы:
sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза = 5 / 13 ≈ 0.385
sin(β) = противолежащий катет / гипотенуза = 12 / 13 ≈ 0.923
д) Равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см:
Найдем высоту треугольника, которая делит основание на два равных отрезка по 4 см. Высота будет равна:
h = √(5² - 4²) = √9 = 3 см.
Теперь, используя тригонометрические функции:
sin(угол при основании) = противолежащий катет / гипотенуза = 3 / 5 = 0.6
е) Треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см:
Для нахождения углов треугольника используем теорему косинусов. Найдем углы по формуле:
cos(γ) = (a² + b² - c²) / (2ab), где a, b и c - стороны треугольника.
Находим угол между сторонами 13 см и 14 см:
cos(γ) = (13² + 14² - 15²) / (2 × 13 × 14)
= (169 + 196 - 225) / 364
= 140 / 364
= 0.384
sin(γ) = √(1 - cos²(γ)) = √(1 - 0.384²) ≈ 0.924
Ответ:
- Для равнобедренного прямоугольного треугольника: sin(90°) = 1, sin(45°) = √2 / 2 ≈ 0.707
- Для равностороннего треугольника: sin(60°) = √3 / 2 ≈ 0.866
- Для египетского треугольника: sin(90°) = 1, sin(36.87°) ≈ 0.6, sin(53.13°) ≈ 0.8
- Для прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см: sin(α) = 5 / 13 ≈ 0.385, sin(β) = 12 / 13 ≈ 0.923
- Для равнобедренного треугольника с основанием 8 см и боковой стороной 5 см: sin(угол при основании) = 3 / 5 = 0.6
- Для треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см: sin(угол между 13 см и 14 см) ≈ 0.924