дано:
Трапеция ABCD, где основания равны AB и CD. Средняя линия трапеции MN параллельна основаниям и равна (AB + CD) / 2. Прямая проходит через середину средней линии и пересекает основания трапеции.
найти:
Докажите, что эта прямая делит трапецию на два равновеликих многоугольника.
решение:
1. Обозначим точки пересечения прямой с основаниями трапеции как точки P и Q.
2. Мы знаем, что прямая проходит через середину средней линии MN. По свойствам средней линии трапеции, она параллельна основаниям AB и CD и делит трапецию на два части, имеющие одинаковую высоту.
3. Прямая, проходящая через середину средней линии, будет делить трапецию на два многоугольника, при этом каждый из этих многоугольников будет иметь одинаковую высоту, так как они лежат между одной и той же средней линией и параллельными основаниями.
4. Теперь необходимо доказать, что площади этих двух многоугольников равны. Площадь трапеции можно выразить через её основания и высоту по формуле:
S = (AB + CD) * h / 2.
Где h — высота трапеции.
5. Прямая, проходящая через середину средней линии, делит высоту трапеции пополам. Это означает, что она делит трапецию на два многоугольника, каждый из которых имеет высоту h/2.
6. Площадь каждого из этих многоугольников будет равна половине площади всей трапеции. Так как прямая делит трапецию на два многоугольника, имеющих одинаковую высоту и пропорциональные основания, их площади будут равны.
ответ:
Таким образом, прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая её основания, действительно делит трапецию на два равновеликих многоугольника.