Дано:
Треугольник ABC. Прямая проходит через середину одной из сторон треугольника и параллельна другой стороне.
Найти:
Докажите, что эта прямая пересекает третью сторону треугольника в её середине.
Решение:
1. Пусть в треугольнике ABC сторона AB имеет середину M, сторона BC имеет середину N, а сторона AC имеет середину K.
2. Обозначим, что прямая проходит через середину стороны BC (пусть это будет середина M) и параллельна стороне AC.
3. Поскольку прямая, проходящая через середину BC и параллельная AC, является средней линией треугольника BMC, то она пересекает сторону AB в точке, которая делит её пополам.
4. Из теоремы о средней линии треугольника известно, что прямая, соединяющая середины двух сторон треугольника и параллельная третьей стороне, делит третью сторону пополам.
5. Рассмотрим треугольник ABC:
- Средняя линия MN параллельна стороне AC и проходит через середину BC. Это означает, что линия MN пересекает сторону AB в точке, которая делит AB пополам, т.е., точка пересечения будет в середине AB.
6. Поэтому линия MN, проходящая через середину BC и параллельная AC, пересекает сторону AB в её середине.
Ответ:
Проверка утверждения: прямая, проходящая через середину стороны BC и параллельная стороне AC, пересекает сторону AB в её середине.