дано:
Прямоугольный треугольник.
Биссектриса прямого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 12 см и 20 см.
найти:
площадь треугольника.
решение:
Пусть треугольник ABC прямоугольный, угол C — прямой. Биссектриса CD делит катет BC на отрезки BD = 12 см и CD = 20 см.
Из теоремы о биссектрисе прямоугольного треугольника известно, что биссектриса прямого угла делит противолежащий катет на отрезки, пропорциональные длине гипотенузы. Обозначим гипотенузу AB как c.
Тогда, по теореме о биссектрисе, получаем пропорцию:
BD / CD = AC / BC,
где BD = 12 см и CD = 20 см. Подставим значения:
12 / 20 = AC / BC.
Преобразуем пропорцию:
AC / BC = 3 / 5.
Таким образом, AC = (3 / 5) * BC.
Теперь найдем площадь треугольника ABC. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
S = (1 / 2) * AC * BC.
Подставим AC = (3 / 5) * BC:
S = (1 / 2) * (3 / 5) * BC * BC = (3 / 10) * BC².
Чтобы найти BC, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:
AB² = AC² + BC².
Обозначим гипотенузу AB как c. Мы знаем, что биссектриса делит катет на отрезки BD и CD, а также что BD + CD = BC. То есть:
BC = BD + CD = 12 + 20 = 32 см.
Теперь вычислим площадь:
S = (3 / 10) * (32)² = (3 / 10) * 1024 = 307.2 см².
Ответ: площадь треугольника равна 307.2 см².