дано:
Прямоугольный треугольник.
Биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 3 см и 4 см.
найти:
площадь треугольника.
решение:
Пусть треугольник ABC прямоугольный, гипотенуза AB, угол C — прямой. Биссектриса CD делит гипотенузу на отрезки AD = 3 см и DB = 4 см. Из теоремы о биссектрисе прямоугольного треугольника известно, что биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные прилежащим катетам.
Обозначим катеты треугольника как AC = x и BC = y. Тогда из теоремы о биссектрисе получаем пропорцию:
AC / BC = AD / DB,
или
x / y = 3 / 4.
Таким образом, x = (3 / 4) * y.
Теперь найдем площадь треугольника ABC. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
S = (1 / 2) * AC * BC = (1 / 2) * x * y.
Подставим x = (3 / 4) * y:
S = (1 / 2) * (3 / 4) * y * y = (3 / 8) * y².
Чтобы найти y, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:
AB² = AC² + BC²,
где AB = AD + DB = 3 см + 4 см = 7 см.
Подставим значения в теорему Пифагора:
7² = x² + y²,
49 = (3 / 4)² * y² + y².
Приведем подобные:
49 = (9 / 16) * y² + y² = (9 / 16) * y² + (16 / 16) * y² = (25 / 16) * y².
Теперь решим относительно y²:
49 = (25 / 16) * y²,
y² = (49 * 16) / 25 = 784 / 25 = 31.36.
Теперь вычислим площадь:
S = (3 / 8) * y² = (3 / 8) * 31.36 ≈ 11.76 см².
Ответ: площадь треугольника равна 11.76 см².