Дано:
- разность отрезков, на которые биссектриса делит гипотенузу, составляет 8 см,
- отношение катетов равно 3:2.
Найти: гипотенузу треугольника.
Решение:
Обозначим катеты треугольника как 3x и 2x, где x — неизвестная величина. Гипотенуза треугольника будет равна по теореме Пифагора:
гипотенуза = √((3x)^2 + (2x)^2) = √(9x^2 + 4x^2) = √13x^2 = x√13.
Пусть биссектрисой гипотенузы образуются отрезки, которые делят гипотенузу на два отрезка. Обозначим их как p и q, где p > q. Разность этих отрезков равна 8 см, то есть:
p - q = 8.
Также известно, что для прямоугольного треугольника, где катеты находятся в соотношении 3:2, биссектриса гипотенузы делит ее на отрезки, пропорциональные катетам. Таким образом:
p / q = 3 / 2.
Теперь, используя эти два уравнения:
p = (3/2) * q.
Также известно, что сумма отрезков p и q равна гипотенузе, то есть:
p + q = x√13.
Подставляем выражение для p из первого уравнения:
(3/2) * q + q = x√13.
Приводим к общему знаменателю:
(3q + 2q) / 2 = x√13.
5q / 2 = x√13.
q = (2x√13) / 5.
Теперь подставим это значение q в уравнение p - q = 8:
(3/2) * q - q = 8.
(3/2) * ((2x√13) / 5) - (2x√13) / 5 = 8.
Упростим выражение:
(3x√13) / 5 - (2x√13) / 5 = 8.
x√13 / 5 = 8.
x√13 = 40.
x = 40 / √13.
x ≈ 11.09.
Теперь найдем гипотенузу:
гипотенуза = x√13 ≈ 11.09 * √13 ≈ 11.09 * 3.605 ≈ 40 см.
Ответ: гипотенуза треугольника равна примерно 40 см.