дано:
- Прямоугольник с диагональю m.
- Угол α между диагональю и большей стороной прямоугольника.
Найти:
- Площадь прямоугольника.
Решение:
1. Пусть стороны прямоугольника равны a и b, где a > b.
2. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой m и катетами a и b:
m² = a² + b².
3. Угол α образует диагональ с большей стороной a, поэтому можно записать:
cos(α) = b / m.
4. Из этого выражения находим b:
b = m × cos(α).
5. Подставим b в формулу Пифагора:
m² = a² + (m × cos(α))².
6. Решим для a²:
a² = m² - m² × cos²(α) = m² (1 - cos²(α)) = m² × sin²(α).
7. Следовательно, a = m × sin(α).
8. Площадь прямоугольника:
S = a × b = (m × sin(α)) × (m × cos(α)) = m² × sin(α) × cos(α).
9. Используем формулу для синуса двойного угла:
sin(2α) = 2 × sin(α) × cos(α).
10. Тогда площадь прямоугольника:
S = (m² / 2) × sin(2α).
Ответ:
Площадь прямоугольника равна (m² / 2) × sin(2α).