Question

Материальная точка, находящаяся на ободе диска радиусом R=80 см вращается согласно уравнению Ф = 30+0,2t+0,01t^3 , где Ф - угол поворота. Найти зависимость углового ускорения точки от времени. Найти тангенциальное и нормальное ускорение точки на окружности диска для момента времени t=1 c. Как направлено нормальное ускорение?

Answer 1

дано:
- радиус диска R = 80 см = 0.8 м
- уравнение угла поворота Ф(t) = 30 + 0.2t + 0.01t^3 (в радианах)
- время t = 1 с

найти:
1. зависимость углового ускорения точки от времени
2. тангенциальное и нормальное ускорение точки на окружности диска для момента времени t = 1 с

решение:

1. Найдем угловую скорость ω(t):

угловая скорость - это первая производная угла по времени:
ω(t) = dФ/dt

вычисляем производную Ф:
dФ/dt = d(30 + 0.2t + 0.01t^3)/dt = 0.2 + 0.03t^2

поэтому,
ω(t) = 0.2 + 0.03t^2

Теперь найдем угловое ускорение α(t):

угловое ускорение - это производная угловой скорости по времени:
α(t) = dω/dt

вычисляем производную ω:
dω/dt = d(0.2 + 0.03t^2)/dt = 0.06t

поэтому,
α(t) = 0.06t

2. Теперь подставим t = 1 с в уравнения для нахождения углового ускорения, угловой скорости и ускорений:

α(1) = 0.06 * 1 = 0.06 рад/с²

ω(1) = 0.2 + 0.03 * (1)^2 = 0.2 + 0.03 = 0.23 рад/с

Теперь найдем тангенциальное ускорение at и нормальное ускорение an.

тангенциальное ускорение определяется как:
at = α * R
at = 0.06 * 0.8 = 0.048 м/с²

нормальное ускорение определяется как:
an = ω² * R
an = (0.23)² * 0.8 = 0.0529 * 0.8 = 0.04232 м/с²

направление нормального ускорения всегда направлено к центру окружности.

ответ:
1. угловое ускорение α(t) = 0.06t рад/с²
2. тангенциальное ускорение at = 0.048 м/с²
3. нормальное ускорение an ≈ 0.04232 м/с²
4. направление нормального ускорения: к центру окружности.