Дано: четырёхугольник, биссектрисы углов которого пересекаются и образуют новый четырёхугольник. Необходимо доказать, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Решение:
1. Пусть четырёхугольник ABCD. Биссектрисы углов A, B, C и D пересекаются в точках P, Q, R и S, соответственно, образуя новый четырёхугольник PQR S.
2. Задача сводится к тому, чтобы доказать, что четырёхугольник PQR S является вписанным, то есть что вокруг него можно описать окружность.
3. Для этого вспомним теорему о четырёхугольнике, который можно вписать в окружность. Четырёхугольник называется вписанным, если сумма противоположных углов этого четырёхугольника равна 180°.
4. Рассмотрим углы четырёхугольника PQR S. Пусть угол PQR равен α, угол QRS равен β, угол RSP равен γ, и угол SPQ равен δ.
5. Согласно свойству биссектрис, углы, образуемые биссектрисами в точках пересечения, делятся пополам. То есть:
угол PQR = ½ (угол B + угол C),
угол QRS = ½ (угол A + угол D),
угол RSP = ½ (угол B + угол D),
угол SPQ = ½ (угол A + угол C).
6. Теперь складываем противоположные углы:
угол PQR + угол SPQ = ½ (угол B + угол C) + ½ (угол A + угол C) = ½ (угол A + угол B + 2 угол C),
угол QRS + угол RSP = ½ (угол A + угол D) + ½ (угол B + угол D) = ½ (угол A + угол B + 2 угол D).
7. Заметим, что угол A + угол B + угол C + угол D = 360° (сумма углов любого четырёхугольника).
8. Подставив это в выражения для углов PQR, SPQ, QRS и RSP, получаем:
угол PQR + угол SPQ = 180°,
угол QRS + угол RSP = 180°.
9. Таким образом, противоположные углы четырёхугольника PQR S в сумме равны 180°, что означает, что этот четырёхугольник вписан в окружность.
Ответ: Четырёхугольник, образованный пересечением биссектрис углов четырёхугольника, является вписанным, и вокруг него можно описать окружность.