Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Биссектрисы углов A, B, C и D параллелограмма пересекаются в точках E, F, G и H соответственно.
Найти:
Докажите, что четырехугольник EFGH является прямоугольником.
Решение:
1. Так как ABCD — это параллелограмм, то его противоположные углы равны: угол A = угол C и угол B = угол D.
2. Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке E, а биссектрисы углов B и D пересекаются в точке F.
3. Углы ABE и CDF являются смежными углами, так как они формируются из одной линии (биссектрисы угла B и D).
4. Поскольку угол A = угол C, то угол ABE = угол CDF.
5. Аналогично, углы BAE и DCF также равны, поскольку биссектрисы углов A и C делят их пополам.
6. Таким образом, мы имеем:
- угол ABE = угол CDF,
- угол BAE = угол DCF.
7. Это означает, что в четырехугольнике EFGH угол E равен углу G и угол F равен углу H.
8. Поскольку сумма внутренних углов четырехугольника равна 360 градусам, и у нас есть две пары равных углов (углы E и G, а также F и H), мы можем заключить, что:
угол E + угол G = 180 градусов,
угол F + угол H = 180 градусов.
9. Мы знаем, что если в четырехугольнике сумма прилегающих углов равна 180 градусам, то этот четырехугольник является выпуклым.
10. Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDF. Они равны по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне между ними (AA).
11. Следовательно, стороны EF и HG также равны, а также стороны EH и FG равны.
12. Таким образом, в четырехугольнике EFGH противоположные стороны равны и углы равны, что подтверждает, что EFGH является прямоугольником.
Ответ:
Четырехугольник EFGH является прямоугольником.