дано:
радиус окружности r = 4 см
длина отрезка СО = 8 см
касательные CA и CB касаются окружности в точках A и B соответственно.
найти:
угол AOB.
решение:
1. В треугольнике OAC, где O — центр окружности, A — точка касания, C — точка, из которой проведены касательные.
2. Поскольку CO = 8 см и OA = 4 см (радиус), то по теореме Пифагора можно найти длину отрезка AC:
AC = √(CO^2 - OA^2)
= √(8^2 - 4^2)
= √(64 - 16)
= √48
= 4√3 см.
3. Угол между касательными COA и COB равен углу AOB. Отметим, что ∠OAC и ∠OBA – это углы, образуемые радиусами и касательными, которые равны 90° (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания).
4. Таким образом, треугольник OAC является прямоугольным. Следовательно, угол AOC равен 90°.
5. Рассмотрим треугольник AOB. Сумма углов в этом треугольнике равна 180°, поэтому:
∠AOB + ∠OAC + ∠OBA = 180°
∠AOB + 90° + 90° = 180°
∠AOB = 180° - 90° - 90°
∠AOB = 0° (ошибка в расчетах).
6. Теперь мы можем использовать свойства тангенсов для нахождения угла AOB.
7. Известно, что угол AOB равен удвоенному углу OAC (по свойству касательных):
∠AOB = 2 * ∠OAC.
8. Для треугольника OAC, где OA = 4 см и OC = 8 см, можем использовать тригонометрию:
cos(∠OAC) = OA / OC = 4 / 8 = 1/2.
9. Значит, ∠OAC = 60°.
10. Подставляя значение:
∠AOB = 2 * 60° = 120°.
ответ:
угол AOB равен 120°.