Дано:
- В покрасочном цехе можно обработать 40 грузовиков или 60 легковых автомобилей в день.
- В сборочном цехе обрабатывается 50 транспортных средств в день.
- Прибыль от одного легкового автомобиля составляет 200 ден. ед., а от одного грузовика — 300 ден. ед.
Найти: оптимальный ежедневный выпуск продукции, обеспечивающий максимальную прибыль, и максимальный размер прибыли компании.
Решение:
Обозначим:
- x1 — количество легковых автомобилей, которые производятся в день.
- x2 — количество грузовиков, которые производятся в день.
Ограничения:
1. В покрасочном цехе можно покрасить 40 грузовиков или 60 легковых автомобилей в день. Пусть время, необходимое для покраски одного легкового автомобиля, равно 1, а для одного грузовика — 1.5 (так как 40 грузовиков требуют столько же времени, сколько 60 легковых автомобилей). Тогда ограничение по покраске будет следующим:
x1 + 1.5x2 ≤ 60.
2. В сборочном цехе можно обрабатывать не более 50 транспортных средств в день, то есть:
x1 + x2 ≤ 50.
3. Прибыль от продажи одного легкового автомобиля — 200 ден. ед., от продажи одного грузовика — 300 ден. ед. Целевая функция для максимизации прибыли:
P = 200x1 + 300x2.
Теперь решим задачу линейного программирования:
1. Ограничения:
- x1 + 1.5x2 ≤ 60
- x1 + x2 ≤ 50
- x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
2. Найдем возможные точки пересечения ограничений.
Из второго ограничения: x1 = 50 - x2.
Подставим в первое ограничение:
(50 - x2) + 1.5x2 ≤ 60,
50 - x2 + 1.5x2 ≤ 60,
50 + 0.5x2 ≤ 60,
0.5x2 ≤ 10,
x2 ≤ 20.
Таким образом, x2 может быть от 0 до 20, а x1 = 50 - x2.
3. Рассчитаем прибыль для крайних значений x2:
- Если x2 = 20, то x1 = 30, и P = 200(30) + 300(20) = 6000 + 6000 = 12000.
- Если x2 = 0, то x1 = 50, и P = 200(50) + 300(0) = 10000 + 0 = 10000.
Таким образом, максимальная прибыль достигается при x1 = 30 и x2 = 20, и она равна 12000 ден. ед.
Ответ:
Оптимальный план выпуска: 30 легковых автомобилей и 20 грузовиков. Максимальная прибыль равна 12000 ден. ед.