дано:
- C_min = 56 пФ = 56 * 10^-12 Ф
- C_max = 670 пФ = 670 * 10^-12 Ф
- λ_min = 40 м
найти:
а) Индуктивность катушки контура L.
б) Максимальную длину волны λ_max, на которую можно настроить приёмник.
в) Наименьшую и наибольшую частоты принимаемых волн.
решение:
а) Для нахождения индуктивности используем формулу для длины волны:
λ = c / f, где c ≈ 3 * 10^8 м/с (скорость света), и частота f выражается как:
f = 1 / (2 * π * √(L * C)).
Мы можем выразить индуктивность через длину волны:
1. Найдем частоту f_min для минимальной длины волны λ_min:
f_min = c / λ_min
f_min = (3 * 10^8) / 40
f_min = 7.5 * 10^6 Гц = 7.5 МГц
2. Теперь подставим значение f_min в формулу для частоты:
7.5 * 10^6 = 1 / (2 * π * √(L * 56 * 10^-12))
3. Упростим уравнение для L:
√(L * 56 * 10^-12) = 1 / (2 * π * 7.5 * 10^6)
L * 56 * 10^-12 = (1 / (2 * π * 7.5 * 10^6))^2
4. Решим это уравнение:
L = ((1 / (2 * π * 7.5 * 10^6))^2) / (56 * 10^-12)
Теперь рассчитаем значение L:
(2 * π * 7.5 * 10^6) ≈ 47.12 * 10^6
L = (1 / (47.12 * 10^6))^2 / (56 * 10^-12)
L ≈ (4.26 * 10^-15) / (56 * 10^-12)
L ≈ 0.076 Гн = 76 мГн
б) Теперь найдем максимальную длину волны λ_max для максимальной ёмкости C_max:
1. Найдем частоту f_max для C_max:
f_max = 1 / (2 * π * √(L * C_max))
2. Подставим значения и выразим λ_max через f_max:
λ_max = c / f_max
Сначала найдем f_max:
f_max = 1 / (2 * π * √(76 * 10^-9 * 670 * 10^-12))
Подставим значения:
f_max ≈ 1 / (2 * 3.14 * √(76 * 670 * 10^-21))
≈ 1 / (6.28 * √(5.092 * 10^-18))
≈ 1 / (6.28 * 2.26 * 10^-9)
≈ 1 / (1.42 * 10^-8)
≈ 7.04 * 10^7 Гц
Теперь найдем максимальную длину волны:
λ_max = (3 * 10^8) / (7.04 * 10^7) ≈ 4.26 м
в) Теперь определим наименьшую и наибольшую частоты принимаемых волн:
- Наименьшая частота (f_min) уже найдена: 7.5 МГц.
- Наибольшая частота (f_max) теперь будет 7.04 * 10^7 Гц = 70.4 МГц.
ответ:
а) Индуктивность катушки контура равна 76 мГн.
б) Максимальная длина волны, на которую можно настроить приёмник, составляет примерно 4.26 м.
в) Наименьшая частота равна 7.5 МГц, а наибольшая частота равна 70.4 МГц.