дано:
Общее время t_total = 6 с
Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
Скорость звука в воздухе v_звук ≈ 343 м/с
найти:
Глубина ущелья h и время падения камешка t_падение.
решение:
1. Разобьем общее время на две части: время падения камешка (t_падение) и время, за которое звук поднимается обратно к туристу (t_звук).
t_total = t_падение + t_звук
2. Выразим t_звук через h:
t_звук = h / v_звук
3. Время падения камешка можно выразить через закон свободного падения:
h = (1/2) * g * t_падение²
4. Подставим t_звук в уравнение для t_total:
t_total = t_падение + h / v_звук
5. Подставим h из уравнения свободного падения:
t_total = t_падение + (1/2) * g * t_падение² / v_звук
6. Подставим известные значения для g и v_звук:
6 = t_падение + (1/2) * 9,81 * t_падение² / 343
7. Упростим это уравнение:
6 = t_падение + (4,905 * t_падение²) / 343
8. Умножим обе стороны на 343, чтобы избавиться от дроби:
2058 = 343 * t_падение + 4,905 * t_падение²
9. Переместим все на одну сторону:
4,905 * t_падение² + 343 * t_падение - 2058 = 0
10. Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:
D = b² - 4ac
D = (343)² - 4 * 4,905 * (-2058)
11. Рассчитаем дискриминант:
D = 117649 + 40402,16 = 158051,16
12. Найдем корни уравнения:
t_падение = (-b ± √D) / (2a)
t_падение = (-343 ± √158051,16) / (2 * 4,905)
13. Найдем значение √D:
√D ≈ 397,56.
14. Теперь подставим значение в формулу:
t_падение = (-343 + 397,56) / 9,81 ≈ 5,52 с (выбираем положительное значение).
15. Теперь найдём h, используя h = (1/2) * g * t_падение²:
h = (1/2) * 9,81 * (5,52)² ≈ 149,76 м.
ответ:
Глубина ущелья составляет примерно 149,76 метров, а время падения камешка примерно 5,52 секунды.