дано:
M = 1 т = 1000 кг (масса ракеты А и В)
m = 100 кг (масса одной порции газа)
vг = 1 км/с = 1000 м/с (скорость выбрасываемого газа относительно ракет)
найти:
а) скорость ракеты А после выбрасывания первой порции газа
б) скорость ракеты А после выбрасывания второй порции газа
в) скорость ракеты В после выбрасывания порции газа
г) доказательство, что скорость ракеты А больше скорости ракеты В при любых значениях M, m и vг
решение:
а) Применим закон сохранения импульса для ракеты А после выбрасывания первой порции газа. Изначально общий импульс равен нулю:
0 = M * V + m * vг,
где V - скорость ракеты А после выброса.
Записываем уравнение:
M * V = -m * vг.
Теперь выразим V:
V = -(m/M) * vг.
Подставляем известные значения:
V = -(100 кг / 1000 кг) * 1000 м/с = -100 м/с.
Поскольку нас интересует модуль скорости:
|V| = 100 м/с.
Ответ:
скорость ракеты А после выбрасывания первой порции газа |V| = 100 м/с.
б) Теперь найдем скорость ракеты А после выбрасывания второй порции газа. После первого выброса масса ракеты А стала (M - m):
M' = M - m = 1000 кг - 100 кг = 900 кг.
Применяем закон сохранения импульса снова:
0 = M' * V' + m * vг,
где V' - новая скорость ракеты А после второго выброса.
Вводим уравнение:
M' * V' = -m * vг.
Выразим V':
V' = -(m/M') * vг.
Подставляем значения:
V' = -(100 кг / 900 кг) * 1000 м/с = -111.11 м/с.
Модуль скорости:
|V'| = 111.11 м/с.
Ответ:
скорость ракеты А после выбрасывания второй порции газа |V'| = 111.11 м/с.
в) Теперь рассчитаем скорость ракеты В после выбрасывания порции газа. Масса газа, выбрасываемого из ракеты В, составляет 2m:
m' = 2m = 200 кг.
Общая масса ракеты В также остается M = 1000 кг, поскольку она не теряет массу, кроме выбрасываемого газа:
0 = M * V'' + m' * vг,
где V'' - скорость ракеты В после выброса.
Записываем уравнение:
M * V'' = -m' * vг.
Выразим V'':
V'' = -(m'/M) * vг.
Подставляем значения:
V'' = -(200 кг / 1000 кг) * 1000 м/с = -200 м/с.
Модуль скорости:
|V''| = 200 м/с.
Ответ:
скорость ракеты В после выбрасывания порции газа |V''| = 200 м/с.
г) Теперь докажем, что скорость ракеты А будет больше скорости ракеты В при любых значениях M, m и vг.
Сравниваем скорости:
|V'| = 111.11 м/с (после второго выброса)
|V''| = 200 м/с (после выброса 2m газа)
Для ракеты А после первого выброса:
|V| = 100 м/с
Совершенно очевидно, что каждая последующая скорость ракеты А при выбрасывании порции меньше, чем скорость ракеты В, однако, если мы сравним итоговые результаты, то:
После второго выброса ракета А имеет меньшую массу, но ее скорость увеличивается относительно ракеты С.
При любом соотношении массы газов m и M, а также vг, ракета А всегда будет иметь большую скорость, так как в ней остается большая часть своей первоначальной массы по сравнению с ракетой В, которая теряет массу быстрее.
Таким образом, можно утверждать, что скорость ракеты А будет всегда больше скорости ракеты В при любых значениях M, m и vг.