Дано:
- угол наклона плоскости α
- масса шарика m
- ускорение свободного падения g = 9,81 м/с²
Найти:
1. Сила натяжения нити T.
2. Угол β, который нить составляет с вертикалью.
Решение:
1. Рассмотрим систему тележка + шарик. Поскольку шарик покоится относительно тележки, у него есть два состояния равновесия: вдоль направляющей нити и перпендикулярно ей.
2. Разложим силы, действующие на шарик:
- Сила тяжести F_т = m * g действует вниз.
- Компонента силы тяжести вдоль нити: F_т_нити = m * g * sin(β).
- Компонента силы тяжести перпендикулярно нити: F_т_перпендикулярная = m * g * cos(β).
3. На шарик также действует сила натяжения нити T, которая имеет две компоненты:
- T * cos(β) направлена вверх (противостоящая силе тяжести),
- T * sin(β) направлена в сторону наклонной плоскости.
4. Запишем уравнения для равновесия по направлению вдоль наклонной плоскости:
ma = m * g * sin(α) - T * sin(β)
Вдоль вертикали:
T * cos(β) = m * g
5. Теперь выразим T из второго уравнения:
T = m * g / cos(β)
6. Из первого уравнения подставим T:
ma = m * g * sin(α) - (m * g / cos(β)) * sin(β)
7. Поделим на m (при условии m != 0):
a = g * sin(α) - (g * sin(β) / cos(β))
8. Учитывая, что a = g * sin(α) (ускорение тележки), получаем:
g * sin(α) = g * sin(α) - (g * sin(β) / cos(β))
9. Следовательно,
sin(β) / cos(β) = 0 => tan(β) = sin(α)
10. Теперь найдем угол β:
β = arcsin(sin(α))
11. Подставив значение β в выражение для T:
T = m * g / cos(arcsin(sin(α)))
Ответ:
1. Сила натяжения нити T = m * g / cos(β), где β = arcsin(sin(α)).
2. Угол β = α.