дано:
1. Радиус планеты R = 3000 км = 3 * 10^6 м.
2. Начальная скорость камешков v_0 = 15 м/с.
3. Максимальное расстояние, на которое упали камешки l = 45 м.
найти:
Средняя плотность планеты ρ.
решение:
Для определения средней плотности планеты используем формулу для ускорения свободного падения g на поверхности планеты:
g = G * M / R²,
где G — гравитационная постоянная (G ≈ 6.67 * 10^-11 Н·м²/кг²), M — масса планеты, R — радиус планеты.
Также можем выразить массу планеты через её плотность ρ:
M = V * ρ = (4/3) * π * R³ * ρ.
Теперь подставим выражение для массы в формулу для g:
g = G * ((4/3) * π * R³ * ρ) / R².
Упрощаем уравнение:
g = (4/3) * G * π * R * ρ.
Ускорение свободного падения g также можно выразить через начальную скорость и максимальное расстояние:
g = (v_0²) / (l * cos(θ)),
допускаем, что максимальное расстояние будет при θ = 45° (наиболее эффективный угол):
l = (v_0²) / g.
Теперь выразим g из этого уравнения:
g = v_0² / l.
Теперь подставим известные значения:
g = (15²) / 45 = 225 / 45 = 5 м/с².
Теперь мы имеем g = 5 м/с². Теперь можем найти плотность ρ, подставив это значение в уравнение:
5 = (4/3) * G * π * R * ρ.
Выражаем ρ:
ρ = (5 * 3) / (4 * G * π * R).
Подставляем известные значения:
ρ = (15) / (4 * 6.67 * 10^-11 * π * 3 * 10^6).
Вычисляем:
ρ = 15 / (4 * 6.67 * 10^-11 * 3.14 * 3 * 10^6) ≈ 15 / (2.51 * 10^-4) ≈ 59744 кг/м³.
ответ:
Средняя плотность этой планеты равна примерно 59744 кг/м³.