Дано:
- высота, на которую льдина выставляется из воды h = 5 см = 0,05 м.
- масса груза m = 30 кг.
- плотность воды ρв = 1000 кг/м³.
- плотность льда ρл = 900 кг/м³.
Найти:
площадь основания S, при которой льдина с грузом не погрузится полностью в воду, и высоту льдины H.
Решение:
1) Обозначим объем льдины Vл и объем вытесненной воды Vв. По принципу Архимеда, для того чтобы льдина не утонула, вес льдины с грузом должен быть равен весу вытесненной воды:
(ρл * Vл + m * g) = ρв * Vв * g.
2) Объем льдины можно выразить через площадь основания S и высоту H:
Vл = S * H.
3) Объем вытесненной воды равен объему части льдины, находящейся под водой. Если льдина выходит из воды на h, то высота подводной части составляет (H - h):
Vв = S * (H - h).
4) Подставим все выражения в уравнение равновесия:
(ρл * S * H + m * g) = ρв * S * (H - h) * g.
5) Упростим уравнение, убрав g и S (при условии, что S > 0):
ρл * H + m = ρв * (H - h).
6) Подставим значения плотностей и массы:
900 * H + 30 = 1000 * (H - 0,05).
7) Раскроем скобки:
900 * H + 30 = 1000 * H - 50.
8) Переносим все члены на одну сторону уравнения:
1000 * H - 900 * H = 30 + 50,
100 * H = 80.
9) Найдем высоту льдины H:
H = 80 / 100 = 0,8 м.
10) Теперь найдем площадь основания S. С учетом того, что вес льдины с грузом равен весу вытесненной воды, можем воспользоваться формулой:
S = (m + ρл * S * H) / (ρв * (H - h)),
S * (ρв * (H - h)) = m + ρл * S * H.
11) После преобразования получаем:
S * (ρв * (H - h) - ρл * H) = m.
12) Подставим известные значения:
S * (1000 * (0,8 - 0,05) - 900 * 0,8) = 30,
S * (1000 * 0,75 - 720) = 30,
S * (750 - 720) = 30,
S * 30 = 30.
13) Находим площадь основания:
S = 30 / 30 = 1 м².
Ответ:
Площадь основания льдины должна составлять 1 м², а высота льдины равна 0,8 м.