дано:
Изменение емкости конденсатора ΔC = 60 пФ = 60 * 10^(-12) Ф
Начальная частота f1 = 120 кГц = 120 * 10^3 Гц
Конечная частота f2 = 150 кГц = 150 * 10^3 Гц
найти:
Индуктивность L контура
решение:
Частота свободных колебаний в LC-контуре определяется формулой:
f = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C))
При этом изменение частоты связано с изменением емкости. Для двух состояний можно записать следующие уравнения:
f1 = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C1))
f2 = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C2))
Отношение частот может быть выражено через емкости:
f1 / f2 = sqrt(C2 / C1)
Обозначим начальную емкость как C1 и конечную как C2:
C2 = C1 + ΔC
Теперь выразим C1 через C2:
C1 = C2 - ΔC
Подставим это в уравнение:
f1 / f2 = sqrt((C2) / (C2 - ΔC))
Теперь подставим известные значения:
(120 * 10^3) / (150 * 10^3) = sqrt(C2 / (C2 - 60 * 10^(-12)))
Применим квадрат обеих сторон:
(120/150)² = C2 / (C2 - 60 * 10^(-12))
Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:
(14400 / 22500)(C2 - 60 * 10^(-12)) = C2
14400 * C2 - 864000 = 22500 * C2
(22500 - 14400) * C2 = 864000
8100 * C2 = 864000
C2 ≈ 106,67 * 10^(-12) Ф
Теперь, зная C2, можем найти индуктивность L из одной из формул для частоты, например, используя f2:
L = 1 / (4 * pi² * f2² * C2)
Подставим значения:
L = 1 / (4 * pi² * (150 * 10^3)² * (106,67 * 10^(-12)))
Рассчитаем:
L ≈ 1 / (4 * 9.87 * (2.25 * 10^{10}) * (106,67 * 10^(-12)))
L ≈ 1 / (4 * 9.87 * 2.25 * 106,67)
L ≈ 1 / (4 * 2.072 * 10^0)
L ≈ 1 / (8.288)
L ≈ 0.1207 Гн
ответ:
Индуктивность L контура составляет примерно 0.1207 Гн.