дано:
Изменение емкости конденсатора ΔC = 50 пФ = 50 * 10^(-12) Ф
Начальная частота f1 = 120 кГц = 120 * 10^3 Гц
Конечная частота f2 = 100 кГц = 100 * 10^3 Гц
найти:
Индуктивность L контура
решение:
Частота свободных колебаний в LC-контуре определяется формулой:
f = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C))
Для двух состояний можно записать следующие уравнения:
f1 = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C1))
f2 = 1 / (2 * pi * sqrt(L * C2))
Отношение частот связано с емкостями:
f1 / f2 = sqrt(C2 / C1)
Обозначим начальную емкость как C1 и конечную как C2:
C2 = C1 + ΔC
Теперь выразим C1 через C2:
C1 = C2 - ΔC
Подставим это в уравнение:
f1 / f2 = sqrt(C2 / (C2 - ΔC))
Теперь подставим известные значения:
(120 * 10^3) / (100 * 10^3) = sqrt(C2 / (C2 - 50 * 10^(-12)))
Применим квадрат обеих сторон:
(120/100)² = C2 / (C2 - 50 * 10^(-12))
Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:
(1.44)(C2 - 50 * 10^(-12)) = C2
1.44 * C2 - 72 * 10^(-12) = C2
(1.44 - 1) * C2 = 72 * 10^(-12)
0.44 * C2 = 72 * 10^(-12)
C2 = 72 * 10^(-12) / 0.44
C2 ≈ 163.64 * 10^(-12) Ф
Теперь, зная C2, можем найти индуктивность L из одной из формул для частоты, используя f2:
L = 1 / (4 * pi² * f2² * C2)
Подставим значения:
L = 1 / (4 * pi² * (100 * 10^3)² * (163.64 * 10^(-12)))
Рассчитаем:
L = 1 / (4 * 9.87 * (10^4)² * (163.64 * 10^(-12)))
L = 1 / (4 * 9.87 * 10^8 * 163.64 * 10^(-12))
L = 1 / (6.464 * 10^{-3})
L ≈ 154.4 мГн
ответ:
Индуктивность L контура составляет примерно 154.4 мГн.