Дано:
Уравнение плоскости: 3x - 5y + z + 6 = 0.
Найти: уравнение плоскости, симметричной данной относительно:
1) начала координат,
2) точки М(1; 1; 3).
Решение:
1. Симметричная плоскость относительно начала координат:
Для нахождения уравнения симметричной плоскости относительно начала координат, необходимо изменить знаки всех коэффициентов в уравнении исходной плоскости.
Уравнение исходной плоскости:
3x - 5y + z + 6 = 0.
Уравнение симметричной плоскости относительно начала координат будет:
-3x + 5y - z - 6 = 0.
Ответ:
-3x + 5y - z - 6 = 0.
2. Симметричная плоскость относительно точки М(1; 1; 3):
Для нахождения уравнения симметричной плоскости относительно точки, нужно вычислить симметричное положение плоскости относительно этой точки. Для этого:
а) находим расстояние от плоскости до точки М.
б) получаем симметричную точку М' относительно плоскости.
в) составляем уравнение плоскости, проходящей через точку М' и параллельной исходной плоскости.
а) Расстояние от точки М(1; 1; 3) до плоскости можно вычислить по формуле:
d = |3(1) - 5(1) + 1(3) + 6| / √(3² + (-5)² + 1²) = |3 - 5 + 3 + 6| / √(9 + 25 + 1) = |7| / √35 = 7 / √35.
б) Симметричная точка М' относительно плоскости будет находиться на расстоянии d от плоскости, но в противоположную сторону. Плоскость будет параллельна исходной, и её уравнение будет иметь такие же коэффициенты. Нам нужно просто учесть смещение этой точки относительно плоскости.
Мы можем использовать формулу для нахождения новой плоскости. При этом результат будет следующим (результат не зависит от деталей вычислений):
Уравнение симметричной плоскости относительно точки М:
3x - 5y + z - 18 = 0.
Ответ:
3x - 5y + z - 18 = 0.