1) При симметрии относительно начала координат
Дано:
Уравнение плоскости: x - 2y + z - 1 = 0
Найти:
Уравнение образа плоскости при симметрии относительно начала координат.
Решение:
При симметрии относительно начала координат все координаты точек на плоскости изменяются на противоположные. То есть, заменяем x, y и z на -x, -y и -z в уравнении плоскости.
Исходное уравнение:
x - 2y + z - 1 = 0
Применим симметрию относительно начала координат:
- (-x) - 2(-y) + (-z) - 1 = 0
- -x + 2y - z - 1 = 0
Таким образом, уравнение образа плоскости при симметрии относительно начала координат:
-x + 2y - z - 1 = 0
**Ответ:**
-x + 2y - z - 1 = 0
---
2) При параллельном переносе на вектор a = (5; -2; -1)
Дано:
Уравнение плоскости: x - 2y + z - 1 = 0
Вектор переноса: a = (5, -2, -1)
Найти:
Уравнение образа плоскости при параллельном переносе на вектор a.
Решение:
Параллельный перенос на вектор a заключается в том, что все точки плоскости сдвигаются на этот вектор. Для этого координаты каждой точки плоскости изменяются как (x + 5, y - 2, z - 1). Чтобы найти уравнение новой плоскости, подставим эти новые координаты в исходное уравнение плоскости.
Исходное уравнение:
x - 2y + z - 1 = 0
Для переноса на вектор a = (5, -2, -1), подставим x = x' - 5, y = y' + 2, z = z' + 1. Тогда уравнение становится:
(x' - 5) - 2(y' + 2) + (z' + 1) - 1 = 0
x' - 5 - 2y' - 4 + z' + 1 - 1 = 0
x' - 2y' + z' - 9 = 0
Таким образом, уравнение образа плоскости при параллельном переносе на вектор a:
x' - 2y' + z' - 9 = 0
Ответ:
x' - 2y' + z' - 9 = 0