Дано:
Уравнения плоскостей:
1) ах - 4y + 5z - 7 = 0,
2) 3x + by - 2z + 2 = 0.
Найти: значения параметров a и b, при которых плоскости параллельны.
Решение:
1. Для того чтобы плоскости были параллельны, их нормали должны быть коллинеарны (т.е. пропорциональны).
2. Нормаль к первой плоскости:
n1 = (a; -4; 5).
Нормаль ко второй плоскости:
n2 = (3; b; -2).
3. Чтобы нормали были пропорциональны, должно существовать число k, такое что:
n1 = k * n2.
Тогда компоненты нормалей должны удовлетворять следующим равенствам:
a = 3k,
-4 = bk,
5 = -2k.
4. Из последнего уравнения 5 = -2k находим k:
k = -5/2.
5. Подставляем значение k в первое и второе уравнения.
Из a = 3k получаем:
a = 3 * (-5/2) = -15/2.
Из -4 = bk получаем:
-4 = b * (-5/2),
b = (-4) * (-2/5) = 8/5.
Ответ:
a = -15/2,
b = 8/5.