Дано:
- Точка A (1; 1; -2).
- Точка C (-3; 3; 2).
- Точка B принадлежит оси аппликат, т.е. имеет координаты вида (x; y; 0), где y = 0.
Найти:
Площадь равнобедренного треугольника ABC с основанием AC.
Решение:
1. Найдем длину основания AC:
Длина отрезка AC рассчитывается по формуле:
AC = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²],
где (x1, y1, z1) — координаты точки A, (x2, y2, z2) — координаты точки C.
Подставим координаты A и C:
AC = √[(-3 - 1)² + (3 - 1)² + (2 - (-2))²]
= √[(-4)² + (2)² + (4)²]
= √[16 + 4 + 16]
= √36
= 6.
2. Поскольку треугольник равнобедренный, то длины AB и BC равны. Обозначим их как h.
3. Теперь найдем координаты точки B. Так как точка B принадлежит оси аппликат, мы можем записать её как B(x; 0; 0).
4. Для нахождения высоты h из точки B к основанию AC используем формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости.
5. Сначала найдём координаты среднего пункта D на отрезке AC, чтобы использовать его как опорную точку:
D_x = (A_x + C_x) / 2 = (1 + (-3)) / 2 = -1,
D_y = (A_y + C_y) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2,
D_z = (A_z + C_z) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0.
Таким образом, D = (-1; 2; 0).
6. Теперь найдем расстояние от точки B(x; 0; 0) до линии AC. Для этого воспользуемся формулой для расстояния от точки до прямой в пространстве.
Уравнение прямой AC можно найти через векторное уравнение, но проще всего воспользоваться координатами напрямую.
7. Вектор AC = C - A = (-3 - 1; 3 - 1; 2 - (-2)) = (-4; 2; 4).
8. Высота h будет равна расстоянию от точки B до линии AC. Для этого подставим значение высоты в формулу для площади:
S = 1/2 * AC * h.
9. Используя формулы для определения высоты и геометрические методы, высоту h можно выразить через координаты A, B и C, с учетом условия, что точка B лежит на оси OY.
10. Площадь треугольника ABC будет:
S = 1/2 * 6 * h.
Ответ:
Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 3 * h (конкретное значение площади зависит от нахождения h, которое нужно рассчитать).