Дано:
- Объём шара увеличился в 5 раз.
Найти: на сколько раз нужно увеличить радиус шара, чтобы объём увеличился в 5 раз.
Решение:
1. Формула для объёма шара:
V = (4/3) * π * r³,
где V — объём шара, r — радиус шара.
2. Пусть первоначальный радиус шара равен r, а объём этого шара — V. Тогда:
V = (4/3) * π * r³.
3. Если радиус шара увеличится в k раз, то новый радиус будет равен k * r. Новый объём шара при радиусе k * r:
V' = (4/3) * π * (k * r)³.
4. Выразим новый объём через старый объём:
V' = (4/3) * π * k³ * r³ = k³ * (4/3) * π * r³ = k³ * V.
5. Нам известно, что новый объём в 5 раз больше старого, то есть:
V' = 5 * V.
6. Подставим в это уравнение выражение для V':
k³ * V = 5 * V.
7. Сократим V:
k³ = 5.
8. Извлечём кубический корень из обеих сторон:
k = (5)^(1/3).
9. Приближенно:
k ≈ 1.710.
Ответ: радиус надо увеличить примерно в 1.710 раз, чтобы объём шара увеличился в 5 раз.