Дано:
1. Пирамида с основанием и боковыми рёбрами.
2. Боковые рёбра пирамиды равны.
Найти:
Доказать, что около пирамиды можно описать сферу, и центр этой сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.
Решение:
1. Рассмотрим правильную пирамиду с основанием и вершиной, где боковые рёбра равны. Обозначим вершину пирамиды как V, а точки основания как A, B, C и D.
2. Поскольку боковые рёбра равны, треугольники, образованные боковыми рёбрами и отрезками, соединяющими вершину V с точками основания (например, VA, VB, VC, VD), будут равнобедренными.
3. Высота пирамиды (h) будет перпендикулярна плоскости основания и будет проведена из вершины V к центру основания O.
4. Центр описанной сферы будет находиться на перпендикуляре, проведённом из V к плоскости основания. Поскольку боковые рёбра равны, расстояния от V до всех точек основания будут одинаковыми.
5. Таким образом, радиус описанной сферы будет равен расстоянию от центра O основания до точки V, и это расстояние перпендикулярно основанию.
6. Поскольку все боковые рёбра равны, центр описанной сферы будет находиться на прямой, содержащей высоту пирамиды. Это значит, что центр описанной сферы лежит на отрезке, соединяющем точку V и центр основания O.
Ответ:
Таким образом, если боковые рёбра пирамиды равны, то около неё можно описать сферу, и центр этой сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.