Дано:
1. Боковые рёбра треугольной пирамиды: l1 = 4 см, l2 = 6 см, l3 = 12 см.
2. Все плоские углы при вершине пирамиды прямые.
Найти:
Радиус шара, описанного около данной пирамиды (R).
Решение:
1. Поскольку все углы при вершине прямые, мы можем рассматривать пирамиду как прямоугольный параллелепипед с высотой, равной длине бокового ребра, и основание, состоящее из трех сторон.
2. Обозначим вершину пирамиды как V, а основания как A, B и C.
3. Площадь основания (треугольник ABC) можно найти, используя формулу Герона. Для этого сначала найдем полупериметр (s):
s = (a + b + c) / 2, где a = 4 см, b = 6 см, c = 12 см.
s = (4 + 6 + 12) / 2 = 11 см.
4. Площадь S основания:
S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)).
S = √(11 * (11 - 4) * (11 - 6) * (11 - 12)) = √(11 * 7 * 5 * -1).
Поскольку одно из слагаемых отрицательное, такой треугольник не существует, и необходимо пересмотреть расчет.
5. Поскольку все углы прямые, можно использовать формулу для радиуса описанной сферы для прямоугольного треугольника.
6. Радиус описанной сферы R можно найти по формуле:
R = (l1 * l2 * l3) / (4 * S).
7. Однако, чтобы использовать эту формулу, нужно найти высоту h пирамиды.
8. Высота h для треугольной пирамиды с прямыми углами:
h = √(l2² - (l1/2)²).
h = √(6² - (4/2)²) = √(36 - 4) = √32 = 4√2 см.
9. Теперь можно найти площадь S при помощи высоты и основания:
S = (1/2) * основание * высота.
Здесь основание можно взять как l1 = 4 см, тогда:
S = (1/2) * 4 * 4√2 = 8√2 см².
10. Подставляем в формулу для радиуса:
R = (4 * 6 * 12) / (4 * 8√2).
11. Упрощаем:
R = 288 / (32√2) = 9 / √2 см.
Ответ:
Радиус шара, описанного около данной пирамиды, равен 9 / √2 см.