Дано:
1. Сфера с центром в точке О радиусом R.
2. Плоскость О пересекает сферу по окружности с центром в точке О1 радиусом r.
Найти: доказать, что ОО1 ⊥ а (где а — плоскость).
Решение:
Предположим, что плоскость О пересекает сферу в точке на окружности с центром в точке О1. Мы знаем, что плоскость, пересекающая сферу, образует с ней окружность, а центр этой окружности лежит на оси, соединяющей центр сферы и точку, где плоскость пересекает сферу.
1. Пусть радиус сферы равен R, а радиус окружности, образованной пересечением сферы и плоскости, равен r.
2. Пусть точка О — центр сферы, а точка О1 — центр окружности пересечения.
3. Рассмотрим треугольник, образованный центром сферы (О), центром окружности (О1) и точкой пересечения окружности с плоскостью.
Так как точка О1 — это центр окружности пересечения, а окружность лежит в плоскости, то линия, соединяющая О и О1, перпендикулярна плоскости, поскольку это расстояние от центра сферы до плоскости.
По теореме Пифагора для треугольника О, О1, точка на окружности:
(ОО1)^2 = (R)^2 - (r)^2.
Это указывает, что расстояние от центра сферы до центра окружности пересечения (ОО1) определено как перпендикулярное расстояние от центра сферы до плоскости.
Ответ:
ОО1 ⊥ а.