Дано:
- Окружность с центром в точке О.
- Радиус ОМ перпендикулярен хорде АВ и пересекает её в точке Е.
- ОЕ = ЕМ.
- ОМ = 4,5.
Найти:
а) доказать, что ∆АМО = ∆ВМО;
б) найти периметр четырёхугольника АМВО.
Решение:
а) Доказать, что ∆АМО = ∆ВМО:
1. Рассмотрим треугольники АМО и ВМО. Из условия задачи известно, что радиус ОМ перпендикулярен хорде АВ, то есть ∠ОМЕ = 90°.
2. Также известно, что ОЕ = ЕМ, что означает, что отрезки, которые соединяют точку пересечения радиуса с хордой, равны между собой.
3. В треугольниках АМО и ВМО:
- ОМ общая сторона.
- ∠ОМЕ = ∠ОМЕ, так как это угол между радиусом и хордой, и он одинаков для обоих треугольников.
- ОЕ = ЕМ, то есть катеты этих треугольников равны.
4. По теореме о равенстве двух треугольников по двум сторонам и углу между ними (по катету и углу), треугольники АМО и ВМО равны.
Ответ на часть (а):
∆АМО = ∆ВМО.
б) Найти периметр четырёхугольника АМВО:
1. Периметр четырёхугольника АМВО равен сумме его сторон:
П = АМ + МВ + ВО + ОА.
2. Мы знаем, что ОМ = 4,5, и поскольку треугольники АМО и ВМО равны, то АМ = МВ.
3. Также, так как ОМ — радиус окружности, то ОА = ОБ (оба радиуса окружности).
4. Таким образом, периметр четырёхугольника можно выразить как:
П = 2 * АМ + 2 * ОМ.
5. Нам нужно найти АМ. Поскольку ОМ — перпендикуляр к хорде АВ, то для нахождения длины АМ используем теорему Пифагора в треугольнике АМО. Известно, что ОМ = 4,5, и ОЕ = ЕМ, поэтому можно применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ОМЕ. Однако для точного нахождения значения АМ нужно больше данных, например, длина хорды АВ.
Ответ на часть (б):
Периметр четырёхугольника АМВО = 2 * АМ + 2 * ОМ (для точного вычисления требуется дополнительная информация о длине хорды).